Question

（2011•南通模擬）若

π

4

是函數(shù)f（x）=sin2x+acos²x（a∈R，為常數(shù)）的零點，則f（x）的最小正周期是

π

．

Answer 1

分析：由f（

π

4

）=sin

π

2

+acos²

π

4

=0，可求得a=-2，于是f（x）=sin2x-2cos²x轉(zhuǎn)化為：f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）-1，
從而可求其周期．

解答：解：∵

π

4

是函數(shù)f（x）=sin2x+acos²x（a∈R，為常數(shù)）的零點，
∴f（

π

4

）=sin

π

2

+acos²

π

4

=0，
∴1+

1

2

a=0，
∴a=-2．
∴f（x）=sin2x-2cos²x
=sin2x-cos2x-1
=

2

sin（2x-

π

4

）-1，
∴f（x）的最小正周期為π．
故答案為：π

點評：本題考查函數(shù)的零點，由f（

π

4

）=0求得a的值是基礎，利用輔助角公式轉(zhuǎn)化是關鍵，屬于中檔題．