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在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，并且PD=a,　PA=PC=a,

       (1)求證：PD⊥平面ABCD；

       (2)求異面直線PB與AC所成的角；

       (3)求二面角A－PB－D的大��；

       (4)在這個四棱錐中放入一個球，求這個球的最大半徑.

(1)證明：∵PD=a,PA=PC=a,?

∴△PAD和△PCD都是等腰直角三角形.?

從而PD⊥平面ABCD.?

(2)解析：PB在底面的射影是DB，而DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，由三垂線定理得PB⊥AC,∴異面直線PB與AC所成的角為直角.?

(3)解析：設AC與BD相交于O，過O作OG⊥PB于G，連結AG,?

∵AO⊥BD,AO⊥PD,?

∴AO⊥平面PBD.?

由三垂線定理可得∠AGO就是二面角A-PB-D的平面角.?

易得OG=a,AC=,tan∠AGO=,∴∠AGO=arctan,即二面角A-PB-D的大小為arctan.?

(4)解析：∵所求球必與四棱錐內(nèi)切，?

∴球心到各面的距離均為球半徑R，把球心與各頂點連結起來，四棱錐P—ABCD的體積就分成以球心為頂點的五個小三棱錐的體積.?

S全=S底+S側=a2+(2×a2+2×a×a)=(2+)a2.?

又四棱錐P—ABCD的體積為V=a3,?則由V=S全×R，得R=a.

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M，N分別為PC、PB的中點．
（1）求證：PB⊥DM；
（2）求BD與平面ADMN所成角的大��；
（3）求二面角B-PC-D的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4．AB=2，AN⊥PC于點N，M是PD中點．
（1）用空間向量證明：AM⊥MC，平面ABM⊥平面PCD．
（2）求直線CD與平面ACM所成的角的正弦值．
（3）求點N到平面ACM的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，O為底面中心，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB．M是PD的中點
（1）求證：直線MO∥平面PAB；
（2）求證：平面PCD⊥平面ABM．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2
2
，∠PAB=60°．
（1）求證：AD⊥平面PAB；
（2）求二面角A-PB-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•成都模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，且PD⊥平面ABCD，PD=AB=1，EF分別是PB、AD的中點，
（I）證明：EF∥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角B-CE-F的大小．

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