Question

【題目】在等比數(shù)列中，已知，.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，（，）.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）是否存在等差數(shù)列，使得對(duì)任意，都有？若存在，求出所有符合題意的等差數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）存在唯一的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為，滿(mǎn)足題設(shè)

【解析】

（1）由，可得公比，即得；（2）由（1）和可得數(shù)列的遞推公式，即可知結(jié)果為常數(shù)，即得證；（3）由（2）可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，，設(shè)出等差數(shù)列，再根據(jù)不等關(guān)系來(lái)算出的首項(xiàng)和公差即可.

（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)?/span>，，所以，解得.

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.

（2）由（1）得，當(dāng)，時(shí)，可得①，

②

②①得，，

則有，即，，.

因?yàn)?/span>，由①得，，所以，

所以，.

所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

（3）由（2）得，所以，.

假設(shè)存在等差數(shù)列，其通項(xiàng)，

使得對(duì)任意，都有，

即對(duì)任意，都有.③

首先證明滿(mǎn)足③的.若不然，，則，或.

（i）若，則當(dāng)，時(shí)，，

這與矛盾.

（ii）若，則當(dāng)，時(shí)，.

而，，所以.

故，這與矛盾.所以.

其次證明：當(dāng)時(shí)，.

因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)時(shí)，.

所以當(dāng)，時(shí)，.

再次證明.

（iii）若時(shí)，則當(dāng)，，，，這與③矛盾.

（iv）若時(shí)，同（i）可得矛盾.所以.

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，，

所以對(duì)任意，都有.所以，.

綜上，存在唯一的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為，滿(mǎn)足題設(shè).