Question

【題目】橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，在第一象限，軸，垂足為，連接延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn).

①求證：；

②求面積最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①證明見(jiàn)解析②

【解析】

（1）結(jié)合離心率，以及，計(jì)算即得解;

（2）設(shè)直線(xiàn)方程為，與橢圓聯(lián)立，可求得P，Q坐標(biāo)，于是直線(xiàn)的斜率為，方程為，聯(lián)立求得G點(diǎn)坐標(biāo)，利用數(shù)量積運(yùn)算即得證；表示的面積，利用均值不等式，即得解.

（1）由的焦點(diǎn)為，橢圓離心率

∴，∴

∴橢圓方程為

（1）①設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則其方程為

由，得

記，則

于是直線(xiàn)的斜率為，方程為

由，得①

設(shè)，則和是方程①的解，故，由此得

從而直線(xiàn)的斜率為所以得證.

②由①得，

所以的面積

設(shè)，則由得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

因?yàn)?/span>在單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.