Question

【題目】綜合與實踐

問題情境

在數學活動課上，老師和同學們以“線段與角的共性”為主題開展數學活動．發(fā)現(xiàn)線段的中點的概念與角的平分線的概念類似，甚至它們在計算的方法上也有類似之處，它們之間的題目可以轉換，解法可以互相借鑒．如圖1，點是線段上的一點，是的中點，是的中點．

圖1 圖2 圖3

（1）問題探究

①若，，求的長度；（寫出計算過程）

②若，，則___________；（直接寫出結果）

（2）繼續(xù)探究

“創(chuàng)新”小組的同學類比想到：如圖2，已知，在角的內部作射線，再分別作和的角平分線，．

③若，求的度數；（寫出計算過程）

④若，則_____________；（直接寫出結果）

（3）深入探究

“慎密”小組在“創(chuàng)新”小組的基礎上提出：如圖3，若，在角的外部作射線，再分別作和的角平分線，，若，則__________．（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）①3；②；（2）③40；④40；（3）

【解析】

（1）①先求出BC，再根據中點求出AM、BN，即可求出MN的長；

②利用①的方法求MN即可；

（2）③先求出∠BOC，再利用角平分線的性質求出∠AOM，∠BON，即可求出∠MON；

④利用③的方法求出∠MON的度數；

（3）先求出∠BOC，利用角平分線的性質分別求出∠AOM，∠BON，再根據角度的關系求出答案即可.

（1）①∵，，

∴BC=AB-AC=4，

∵是的中點，是的中點．

∴， ，

∴MN=AB-AM-BN=6-1-2=3；

②∵，，

∴BC=AB-AC=a-b，

∵是的中點，是的中點．

∴，，

∴MN=AB-AM-BN==，

故答案為：；

（2）③∵，，

∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=50，

∵，分別平分和，

∴∠AOM=15，∠BON=25，

∴∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON=40；

④∵，，

∴∠BOC=(80-m)，

∵，分別平分和，

∴∠AOM=，∠BON=（40-m），

∴∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON=40,

故答案為：40；

（3）∵，，

∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=(m-n)，

∵和的角平分線分別是，，

∴∠AOM=,∠CON=，

∴∠MON=∠AOC-∠AOM-∠CON=，

故答案為：.