Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過點，，直線交軸于點，且與拋物線交于、兩點．為拋物線上一動點（不與點，重合）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點在直線上方時，過點作軸交于點，軸交于點，求的最大值；

（3）設(shè)為直線上的點，以，，，為頂點的四邊形能否構(gòu)成平行四邊形？若能，請直接寫出點的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）能構(gòu)成，點F的坐標是（2，4）或或或．

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法解答即可；

（2）求出OA和OE的長后易證，由相似三角形的性質(zhì)可得，于是可轉(zhuǎn)化為，只要求出PN的最大值即可，可設(shè)點P的橫坐標為m，則PN的長可用含m的代數(shù)式表示，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出PN的最大值，進一步即可求出結(jié)果；

（3）分情況討論：當(dāng)CE為邊時，則CE=PF，CE∥PF，易得CE=2，再分點在直線上方和點在直線下方，設(shè)點P的橫坐標為m，由PF=2可得關(guān)于m的方程，解方程即可求出m，進而可求得點F的坐標；當(dāng)CE為對角線時，如圖，則CP=EF，CP∥EF，設(shè)點P的橫坐標為m，表示出點P、F坐標后，由平行四邊形的性質(zhì)可得，從而可得關(guān)于m的方程，解方程即可求出m，進而可求得點F的坐標．

解（1）拋物線經(jīng)過點，，

，解得：，

∴拋物線的解析式為；

（2）在直線中，當(dāng)時，，，

當(dāng)時，，，∴，

軸，軸，

，，

，

，

，，

，

設(shè)，

軸，，

點在直線上方，

∴，

∴當(dāng)時，有最大值，最大值為，此時的最大值=；

（3）由題意得：當(dāng)CE為邊時，若以，，，為頂點的四邊形能構(gòu)成平行四邊形，則CE=PF，CE∥PF，

當(dāng)點在直線上方時，設(shè)，則，

∵，

∴，

∴，解得：m=0（舍去）或m=2，

此時點F的坐標是（2，4）；

當(dāng)點在直線下方時，，

∴，解得：或，

此時點F的坐標是或；

當(dāng)CE為對角線時，如圖，若以，，，為頂點的四邊形能構(gòu)成平行四邊形，則CP=EF，CP∥EF，

此時可設(shè)，則由可得，

由得：，

解得：m=0（舍去）或m=2，

此時點F的坐標是；

綜上所述，以，，，為頂點的四邊形能構(gòu)成平行四邊形，且點F的坐標是（2，4）或或或．