Question

【題目】已知：在中，，，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊，在的右側(cè)作等邊．

（1）當(dāng)平分時(shí)，如圖1，四邊形是________形；

（2）過(guò)作于，如圖2，求證：為的中點(diǎn)；

（3）若．

①當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，如圖3，求的長(zhǎng)；

②點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，則點(diǎn)所經(jīng)過(guò)路徑長(zhǎng)為________（直接寫(xiě)出結(jié)果）．

Answer 1

【答案】（1）菱；（2）見(jiàn)解析；（3）①，②

【解析】

（1）根據(jù)角平分線的定義求出∠BAD＝∠DAC＝∠CAE＝30°，進(jìn)而得到AE∥BC，AE＝AD＝DC，根據(jù)菱形的判定定理可得結(jié)論；

（2）求出，證明，可得，根據(jù)可得結(jié)論；

（3）①過(guò)作于，過(guò)點(diǎn)作于，連接，首先證明，然后求出DG和AD的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出EG即可；②判斷出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑為EF，根據(jù)可得答案．

解：（1）∵是等邊三角形，平分，

∴∠BAD＝∠DAC＝∠CAE＝30°，

∵，

∴AE∥BC，AD＝DC，

∵AE＝AD，

∴AE＝DC，

∴四邊形是平行四邊形，

∵AD＝DC，

∴四邊形是菱形；

（2）∵是等邊三角形，

∴，，

在中，，，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，即為的中點(diǎn)；

（3）①過(guò)作于，過(guò)點(diǎn)作于，連接，

∵為的中點(diǎn)，，

∴，

∵，

∴，

在中，，，，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴，

在中，；

②由（2）可知，，

∴當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑為BC，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑為EF，

∵，

∴點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，則點(diǎn)所經(jīng)過(guò)路徑長(zhǎng)為．