Question

【題目】如圖，在一張矩形紙片 ABCD中，AB＝3，點(diǎn)P，Q分別是AB和CD的中點(diǎn)，現(xiàn)將這張紙片折疊，使點(diǎn)D落到PQ上的點(diǎn)G處，折痕為CH，若HG的延長(zhǎng)線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則AD的長(zhǎng)為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

先判斷出BG＝HG，進(jìn)而判斷出∠BCG＝∠HCG，即得出∠DCH＝∠GCH＝∠BCG＝∠BCD＝30°，即：△BCH是等邊三角形，即可得出AD＝BC＝BH，在最后用勾股定理求出BH即可得出結(jié)論．

∵P，Q是矩形ABCD的邊AB，CD的中點(diǎn)，

∴AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，PQ//AD，

∵點(diǎn)B，G，H在同一條直線(xiàn)上，且點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，

∴BG＝HG（經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)平行于一邊的直線(xiàn)必平分另一邊），

由折疊知，∠CGH＝∠CGB＝∠D＝90°，

∴CH＝CB，

∵∠CGH＝90°，

∴∠BCG＝∠HCG，

由折疊知，∠DCH＝∠HCG，即：∠DCH＝∠GCH＝∠BCG＝∠BCD＝30°，

∴∠BCH＝60°，

∵CH＝CB，

∴△BCH是等邊三角形，

∴∠CBH＝60°，BC＝BH，即：AD＝BC＝BH，

在Rt△ABH中，∠ABH＝∠ABC﹣∠CBH＝30°，AB＝3，

設(shè)AH＝x，則BH＝2x，

根據(jù)勾股定理得，BH2﹣AH2＝AB2，

即：4x2﹣x2＝9，

∴x＝，

∴BH＝2x＝2，

即：AD＝BC＝BH＝2，

故答案為2．