Question

將邊長為8cm的正方形紙片ABCD沿EG折疊（折痕EG分別與AB、DC交于點E、G），使點B落在AD邊上的點 F處，F(xiàn)N與DC交于點M，連接BF與EG交于點P．
（1）當點F與AD的中點重合時（如圖1）：
①△AEF的邊AE=______cm，EF=______cm，線段EG與BF的大小關(guān)系是EG______BF；
（填“＞”、“=”或“＜”）
②求△FDM的周長．
（2）當點F在AD邊上除點A、D外的任意位置時（如圖2）：
③試問第（1）題中線段EG與BF的大小關(guān)系是否發(fā)生變化？請證明你的結(jié)論；
④當點F在何位置時，四邊形AEGD的面積S最大？最大值是多少？

Answer 1

解：（1）①AE=3cm，EF=5cm；EG=BF，
設(shè)AE=x，則EF=8-x，AF=4，∠A=90°，4²+x²=（8-x）²，x=3，
∴AE=3cm，EF=5cm，EG=BF，
②解：如圖1，∵∠MFE=90°，
∴∠DFM+∠AFE=90°，
又∵∠A=∠D=90°，∠AFE=∠DMF，
∴△AEF∽△DFM，
∴，
又∵AE=3，AF=DF=4，EF=5，
∴，，，，
∴△FMD的周長=4++=16；

（2）①EG=BF不會發(fā)生變化，
理由：證明：如圖2，∵B、F關(guān)于GE對稱，
∴BF⊥EG于P，過G作GK⊥AB于K，
∴∠FBE=∠KGE，
在正方形ABCD中，GK=BC=AB，∠A=∠EKG=90°，
∴△AFB≌△KEG，
∴EG=BF，
②如圖2，設(shè)AF=x，EF=8-AE，x²+AE²=（8-AE）²，
∴AE=4-，
∵△AFB≌△KEG，
∴AF=EK=x，AK=AE+EK=AF+AE=4-+x，
S=×8=0.5×8（AE+AK）=4×（4-+4-+x）=，
S=，（0＜x＜8）
當x=4，即F與AD的中點重合時，S_最大=40．
分析：（1）①根據(jù)直角三角形勾股定理即可得出結(jié)論，②利用三角形相似對邊比例關(guān)系計算出三角形各邊長即可計算出結(jié)果，
（2）①根據(jù)題意，利用三角形全等即可證明結(jié)論，②根據(jù)勾股定理得出AE，然后利用全等三角形得出AF、AK，即可得出結(jié)果．
點評：本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，需要注意的是：旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變，難度較大．