Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a>0）的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），OB=OC ，tan∠ACO=。
（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）經(jīng)過C、D兩點(diǎn)的直線，與x軸交于點(diǎn)E，在該拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F，使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度；
（4）如圖2，若點(diǎn)G（2，y）是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，△APG的面積最大？求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)和△APG的最大面積。

                        圖1                                         圖2

Answer 1

解：（1）由已知得：C（0，-3），A（-1，0）， 將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，解得：， 所以這個二次函數(shù)的表達(dá)式為：； （2）存在，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-3） 易得D（1，-4），所以直線CD的解析式為：， ∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，0） ∵以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形 ∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-3）或（-2，-3）或（-4，3）  代入拋物線的表達(dá)式檢驗(yàn)，只有（2，-3）符合 ∴存在點(diǎn)F，坐標(biāo)為（2，-3）；
（3）如圖，①當(dāng)直線MN在x軸上方時，設(shè)圓的半徑為R（R>0），則N（R+1，R）， 代入拋物線的表達(dá)式，解得 ， ②當(dāng)直線MN在x軸下方時，設(shè)圓的半徑為r（r>0），則N（r+1，-r）， 代入拋物線的表達(dá)式，解得， ∴圓的半徑為或；
（4）過點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q， 易得G（2，-3），直線AG為， 設(shè)P（x，），則Q（x，-x-1），PQ， 當(dāng)時，△APG的面積最大， 此時P點(diǎn)的坐標(biāo)為，的最大值為。