Question

【題目】如圖，在矩形中，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，交邊于點(diǎn)E，直線的解析式為．

（1）求反比例函數(shù)的解析式和直線的解析式；

（2）在y軸上找一點(diǎn)P，使的周長最小，求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，的周長最小值是______．

Answer 1

【答案】（1），；（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為；（3）．

【解析】

（1）首先求出D點(diǎn)坐標(biāo)，然后將D點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例解析式，求出k即可得到反比例函數(shù)的解析式.將x=2代入反比例函數(shù)解析式求出對應(yīng)y的值，即得到E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)D,E兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式中，即可求出DE的解析式.

(2)作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，連接，交y軸于點(diǎn)P，連接．此時的周長最小.然后求出直線的解析式，求直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）的周長的最小值為DE+，分別利用勾股定理兩條線段的長，即可求.

解：（1）∵D為的中點(diǎn)，，

∴．

∵四邊形是矩形，，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為．

∵在的圖象上，

∴．∴反比例函數(shù)解析式為．

當(dāng)時，．

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為．

∵直線過點(diǎn)和點(diǎn)

∴

解得

∴直線的解析式為．

∴反比例函數(shù)解析式為，

直線的解析式為．

（2）作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，連接，交y軸于點(diǎn)P，連接．

此時的周長最小．∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

設(shè)直線的解析式為．

∵直線經(jīng)過

∴

解得

∴直線的解析式為．

令，得．

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為．

（3）由（1）(2)知D（1，4），E（2，2），(-1,4).又B(2,4),

∴BD=1,BE=2,B=3.

在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE==.

在Rt△BE中，由勾股定理，得E==.

的周長的最小值為+DE =．