Question

【題目】如圖，直線與軸、軸分別相交于、兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)在第一象限內(nèi)，連接、，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為，求與的函數(shù)表達(dá)式，并求出的最大值及此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）將點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)，連接、，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到，再沿線段以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)到后停止，求點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少是多少？

Answer 1

【答案】（1）；（2），的最大值是，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)是；（3）秒．

【解析】

（1）根據(jù)直線l的解析式可求出點(diǎn)B坐標(biāo)，把點(diǎn)B坐標(biāo)代入可求出a值，即可得拋物線解析式；

（2）如圖，連接OM，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于E，MD⊥x軸于D，根據(jù)（1）中所求拋物線解析式可求出點(diǎn)C坐標(biāo)，可得出m的取值范圍，根據(jù)直線l解析式可求出A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)即可得S關(guān)于m的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值和點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）如圖，根據(jù)題意作點(diǎn)H（0，），連接HA′、OA′、BA′、CA′，可證明，可得，根據(jù)，利用勾股定理求出HC的長(zhǎng)即可得點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少的時(shí)間．

（1）將代入，得，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為：．

（2）如圖，連接OM，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于E，MD⊥x軸于D，

將代入，得，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∵點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)在一象限內(nèi)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

∴，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

將代入，得，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)，

∴

=OB·ME+OA·MD-OB·OA

，

化簡(jiǎn)得：，

當(dāng)時(shí)，-m2+2m+3=，

∴時(shí)，取得最大值，的最大值是，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)是．

（3）如圖，取點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接、，

∵，，

∴，

∴，即，

∵點(diǎn)P在BA′上運(yùn)動(dòng)的速度是每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，在CA′上運(yùn)動(dòng)的速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，

∴在BA′上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，在CA′上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為A′C，

∵，

∴點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)，即點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少是秒．