Question

（自編題）梯形ABCD中，AD∥BC，延長(zhǎng)CB至E，使BE=AD．
（1）求證：M為AB的中點(diǎn)．
（2）用直尺作出CD的中點(diǎn)N，并在圖上標(biāo)上理由．連AN交DE于O，設(shè)AD=3，BC=5．求

DO

OE

的值．

Answer 1

分析：（1）證明△ADM≌△BEM（AAS），由全等三角形的性質(zhì)即可得到DM=EM，即M為AB的中點(diǎn)．
（2）作CD的垂直平分線，交CD于點(diǎn)N，點(diǎn)N即為所求；

解答：（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠ADM=∠E，
在△AMD和△BME中，

∠AMD=∠BME ∠ADM=∠E AD=BE

，
∴△ADM≌△BEM（AAS），
∴DM=EM，
即M為AB的中點(diǎn)．

（2）如圖：作CD的垂直平分線，交CD于點(diǎn)N，點(diǎn)N即為所求；
解：延長(zhǎng)BC到F，連接FN，則AD=CF，
∵△ADM≌△BEM，
∴AD=BE，
∴EF=EB+BC+CF=3+3+5=11，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△FOE，
∴AD：EF=DO：OE=3：11，
∴

DO

OE

=

3

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的作法，題目的綜合性強(qiáng)，難度中等．