Question

【題目】已知拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣2與y軸交于點(diǎn)C．

（1）拋物線的頂點(diǎn)坐稱為　 　，點(diǎn)C坐標(biāo)為　 　；（用含m的代數(shù)式表示）

（2）當(dāng)m＝1時，拋物線上有一動點(diǎn)P，設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為n，且n＞0．

①若點(diǎn)P到x軸的距離為2時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②設(shè)拋物線在點(diǎn)C與點(diǎn)P之間部分（含點(diǎn)C和點(diǎn)P）最高點(diǎn)與最低點(diǎn)縱坐標(biāo)之差為h，求h與n之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量n的取值范圍；

（3）若點(diǎn)A（﹣3，2）、B（2，2），連結(jié)AB，當(dāng)拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣2與線段AB只有一個交點(diǎn)時，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（m，﹣2），（0，m2﹣2），（2）①P1（1，﹣2），P2（3，2）；②；（3）m的取值范圍為﹣5≤m＜﹣1或0＜m≤4．

【解析】

（1）當(dāng)x＝0時，求出y的值，即可寫出點(diǎn)C坐標(biāo)，將拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣2化為頂點(diǎn)式即可寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）①當(dāng)m＝1時，先求出拋物線的解析式，再分別將y＝±2代入解析式即可求出點(diǎn)P坐標(biāo)；

②用含n的代數(shù)式表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，分點(diǎn)P在y軸左側(cè)，在y軸右側(cè)且在對稱軸左側(cè)和右側(cè)三種情況討論，直接求出最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差即可；

（3）分兩種情況討論，當(dāng)m＜0，拋物線經(jīng)過線段的最左端點(diǎn)時，求出m的值并畫出圖象即可由圖象看出m的取值范圍；當(dāng)m≥0，拋物線經(jīng)過線段的最右端點(diǎn)B時，求出m的值并畫出圖象即可由圖象看出m的取值范圍．

（1）y＝x2﹣2mx+m2﹣2

＝（x﹣m）2﹣2，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣2），

在y＝x2﹣2mx+m2﹣2中，

當(dāng)x＝0時，y＝m2﹣2，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，m2﹣2），

故答案為：（m，﹣2），（0，m2﹣2）；

（2）①當(dāng)m＝1時，y＝x2﹣2x﹣1，

∴P（n，n2﹣2n﹣2），

令n2﹣2n﹣1＝﹣2，

解得，n1＝n2＝1，

∴P1（1，﹣2）；

令n2﹣2n﹣1＝2，

解得，n1＝3，n2＝﹣1（n＞0，舍去），

∴P2（3，2），

綜上：P1（1，﹣2），P2（3，2）；

②在y＝x2﹣2x﹣1中，對稱軸為，

當(dāng)時，，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，

如圖，當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)，即時，

；

當(dāng)在y軸右側(cè)且在對稱軸左側(cè)，即時，

；

當(dāng)在對稱軸右側(cè)，即時，

；

綜上：

（3）①當(dāng)m＜0，拋物線經(jīng)過線段的最左端點(diǎn)A（﹣3，2）時，

（﹣3﹣m）2﹣2＝2，

解得，m1＝﹣5，m2＝﹣1，

∴對應(yīng)拋物線的圖象如圖1，圖2所示，

由圖象可以看出當(dāng)﹣5≤m＜﹣1時，拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣2與線段AB只有一個交點(diǎn)；

②當(dāng)m≥0，拋物線經(jīng)過線段的最右端點(diǎn)B（2，2）時，

（2﹣m）2﹣2＝2，

解得，m1＝4，m2＝0，

∴對應(yīng)拋物線的圖象如圖3，圖4所示，

由圖象可以看出當(dāng)0＜m≤4時，拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣2與線段AB只有一個交點(diǎn)；

綜上所述：m的取值范圍為﹣5≤m＜﹣1或0＜m≤4．