Question

如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（A點在B點左側），與y軸交于點C，對稱軸為直線，OA = 2，OD平分∠BOC交拋物線于點D（點D在第一象限）．

（１）求拋物線的解析式和點D的坐標；
（２）在拋物線的對稱軸上，是否存在一點P，使得△BPD的周長最�。咳舸嬖�，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（３）點M是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點N，使A、D、M、N四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的M點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（１）�。�D(2，2)
（２）存在，證明略。
（３）存在，證明略。

解析解：(1) ∵OA = 2，∴A(– 2，0)。
∵A與B關于直線對稱，
∵B(3，0)，由于A、B兩點在拋物線上，
∴解得。     ∴
過D作DE⊥x軸于E，∵∠BOC = 90，OD平分∠BOC，
∴∠DOB = 45，∠ODE = 45，∴DE = OE，即x_D = y_D，
∴，解得x₁ = 2，x₂ =" –" 3(舍去)
∴D(2，2)。······················································································ （4分）
(2) 存在。BD為定值，∴要使△BPD的周長最小，只需PD + PB最小。
∵A與B關于直線對稱，∴PB = PA，只需PD + PA最小。
∴連接AD，交對稱軸于點P，此時PD + PA最小�！ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ� （6分）

由A(– 2，0)，D(2，2)可得，直線AD：········································· （7分）
令，∴存在點P()，使△BPD的周長最小�！ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ� （8分）
(3) 存在。
(i) 當AD為□AMDN的對角線時，MD∥AN，即MD∥x軸。
∴y_M= y_D，
∴M與D關于直線對稱。
∴M( – 1，2)�！ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ� （9分）
(ii) 當AD為□ADMN的邊時，
∵□ADMN是中心對稱圖形，△AND≌△ANM。
∴
∴令
解得·································· （11分）
綜上所述：滿足條件的M點有三個M(– 1，2)，
···················································································· （12分）