Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l₁：y=-x+3與l₂：y=

1

3

x+

1

3

交于點(diǎn)C，分別交x軸交于點(diǎn)A，B．
（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；
（2）求△ABC的面積；
（3）在直線l₁上是否存在點(diǎn)P，使△PBA是等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）A，B是l₁和l₂與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，C是這兩個直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）求出AB的長和C的縱坐標(biāo)可求出面積．
（3）假設(shè)存在，有兩種情況，當(dāng)AB為直角邊時，當(dāng)AB為斜邊時，看看能不能求出解．

解答：解：（1）A（3，0），B（-1，0）．（2分）
C（2，1）．（4分）
注：要求學(xué)生書寫簡要過程．

（2）S_△ABC=

1

2

×4×1=2．（6分）

（3）存在．
①當(dāng)AB為直角邊時．
如圖，過點(diǎn)B作P₁B⊥x軸，交l₁于P₁，∠P₁BA=90°．
易得△AP₁B為等腰直角三角形，P₁（-1，4）．（7分）
②當(dāng)AB為斜邊時．
如圖，過點(diǎn)B作BP₂⊥l₁于P₂，∠BP₂A=90°．
易得△AP₂B為等腰直角三角形，P₂（1，2）．（8分）
綜上，在直線l₁上存在點(diǎn)P₁（-1，4），P₂（1，2），使△PBA是等腰直角三角形．

點(diǎn)評：本題考查一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)式能夠求出坐標(biāo)和能夠根據(jù)坐標(biāo)求面積和判斷三角形的形狀．