Question

如圖，已知拋物線y=ax+bx-4經(jīng)過點A（-2，0），B（4，O）與y軸交于C點．

（1）求拋物線的解析式．
（2）若D點坐標(biāo)為（0，2），P為拋物線第三象限上一動點，連PO交BD于M點，問是否存在一點P，使=？若存在，求P點坐標(biāo)；不存在，請說明理由．
（3）G為拋物線第四象限上一點，OG交BC于F，求當(dāng)GF：OF的比值最大時G點的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax+bx-4經(jīng)過點A（-2，0），B（4，O），
∴，
解得，
∴拋物線解析式為y=x²-x-4；

（2）如圖1，過點M作MR⊥y軸于R，過點P作PG⊥y軸于G，
則△OMR∽△OPG，
∴==，
∵=，
∴==，
∵B（4，O），D（0，2），
∴直線BD的解析式為y=-x+2，
∵點M在BD上，
∴設(shè)點M的坐標(biāo)為（2m，-m+2），
則點P的坐標(biāo)為（-3m，m-3），
把點P坐標(biāo)代入拋物線得，×（-3m）²-（-3m）-4=m-3，
整理得，9m²+3m-2=0，
解得m₁=，m₂=-，
∵點P在第三象限，
∴點P的坐標(biāo)為（-1，-）；

（3）如圖2，過點O作OE⊥BC于E，過點G作GH⊥BC于G，
則△OEF∽△GHF，
∴=，
∵OE是Rt△OBC斜邊BC上的高，不變，
∴GH最大時，GF：OF的比值最大，
因此，直線BC平移到與第四象限的拋物線有且只有一個交點時距離最大，
令x=0，則y=-4，
∴點C的坐標(biāo)為（0，-4），
又∵點B（4，0），
∴直線BC的解析式為y=x-4，
設(shè)平移直線BC得到y(tǒng)=x+h，
聯(lián)立，
消掉y得，x²-4x-8-2h=0，
△=b²-4ac=（-4）²-4×1×（-8-2h）=48+8h=0，
解得h=-6，
解得，
∴點G的坐標(biāo)為（2，-4）．
分析：（1）把點A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求函二次數(shù)解析式解答；
（2）過點M作MR⊥y軸于R，過點P作PG⊥y軸于G，然后根據(jù)△OMR和△OPG相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式表示出點M、P的坐標(biāo)之間的關(guān)系，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線BD的解析式，設(shè)出點M的坐標(biāo)，再表示出點P的坐標(biāo)，然后根據(jù)點P在拋物線上列出方程求解即可；
（3）過點O作OE⊥BC于E，過點G作GH⊥BC于G，可得△OEF和△GHF相似，然后利用相似三角形對應(yīng)邊成比例可得=，從而得到當(dāng)GH最大時，比值最大，再求出直線BC的解析式，根據(jù)與直線BC平行的直線與拋物線有且只有一個交點時距離最大，然后與拋物線聯(lián)立消掉未知數(shù)y，利用根的判別式△=0列式求解即可．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，互相平行的直線的解析式的k值相等，作輔助線構(gòu)造出相似三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．