Question

（2012•豐臺(tái)區(qū)二模）在△ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，在三角形內(nèi)部取一點(diǎn)P，使得∠ABP=∠ACP．過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥AB于點(diǎn)F．
（1）如圖1，當(dāng)AB=AC時(shí)，判斷的DE與DF的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出你的結(jié)論；
（2）如圖2，當(dāng)AB≠AC，其它條件不變時(shí)，（1）中的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由PE⊥AC，PF⊥AB得到∠PEB=∠PFC=90°，又∠ABP=∠ACP，易證得Rt△PEB≌Rt△PFC，則BE=CF，由于AB=AC，則∠ABC=∠ACB，而點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，則DB=DC，可證得△DBE≌△DCF，即可得到DE=DF；
（2）結(jié)論成立．分別取BP、CP的中點(diǎn)M、N，連接EM、DM、FN、DN．利用三角形中位線(xiàn)性質(zhì)得到DN=

1

2

BP，DN∥BP，EM=BM=

1

2

BP，可證明四邊形MDNP為平行四邊形，然后證明△EMD≌△DNF．

解答：解：（1）DE=DF．…（1分）

（2）DE=DF不發(fā)生改變．…（2分）
理由如下：分別取BP、CP的中點(diǎn)M、N，連接EM、DM、FN、DN．
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴DN=

1

2

BP，DN∥BP．…（3分）
∵PE⊥AB，
∴EM=BM=

1

2

BP．
∴DN=EM，∠1=∠2．
∴∠3=∠1+∠2=2∠1．…（4分）
同理DM=FN，∠5=2∠4，MD∥PC．
∴四邊形MDNP為平行四邊形．…（5分）
∴∠6=∠7．
∵∠1=∠4，
∴∠3=∠5．
∴∠EMD=∠DNF．…（6分）
在△EMD和△DNF中，
∵

EM=DN ∠EMD=∠DNF DM=FN

，
∴△EMD≌△DNF（SAS）．
∴DE=DF．…（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：有兩個(gè)角和其中一個(gè)角所對(duì)的邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)的定理以及平行四邊形的判定與性質(zhì)．