Question

函數(shù)y=-x+4的圖象分別交x軸，y軸于點(diǎn)N、M，過線段MN上的點(diǎn)A向x軸作垂線與x軸交于A₁（a，0），繞著O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)射線OA，交MN于另一點(diǎn)B，過B點(diǎn)也向x軸作垂線與x軸交于B₁（b，0），且b＞a．
（1）△OA₁A與△OB₁B的面積分別用S₁、S₂表示，當(dāng)a+b滿足什么條件時，S₂＞S₁．
（2）當(dāng)a=2，b=3時，若一拋物線經(jīng)過N、A、O三點(diǎn)，且對稱軸與OB交于點(diǎn)D，點(diǎn)P為線段DB上一點(diǎn)，過P點(diǎn)作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)G．問：是否存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形ADPG為等腰梯形？若存在，請求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）把A₁（a，0），B₁（b，0）的橫坐標(biāo)代入直線y=-x+4得，
y=-a+4，y=-b+4，
所以，A（a，-a+4），B（b，-b+4），
所以，S₁=a•（-a+4）=-a²+2a，
S₂=b•（-b+4）=-b²+2b，
∵S₂＞S₁，
∴-b²+2b＞-a²+2a，
整理得，a²-b²+4b-4a＞0，
即（a-b）（a+b-4）＞0，
∵a＜b，
∴a-b＜0，
∴a+b-4＜0，
∴a+b＜4，
即當(dāng)a+b＜4時，S₂＞S₁；

（2）當(dāng)a=2時，y=-2+4=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），
y=0時，-x+4=0，
解得x=4，
∴點(diǎn)N（4，0），
設(shè)經(jīng)過N（4，0）、A（2，2）、O（0，0）的拋物線為y=ax²+bx，
則，
解得，
所以，拋物線解析式為y=-x²+2x=-（x-2）²+2，
所以，點(diǎn)A（2，2）是拋物線的頂點(diǎn)，
所以，直線AA₁就是拋物線的對稱軸，AD、PG是底邊，AG、DP是等腰梯形的腰，
b=3時，y=-3+4=1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），
易求直線OB的解析式為y=x，
x=2時，y=，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，），
∴AD=2-=，
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m），點(diǎn)G的坐標(biāo)為（m，-m²+2m），
∴PG=-m²+2m-m=-m²+m，
過點(diǎn)P作PE⊥AD于E，則PE=m-2，PE∥x軸，
∴∠EPD=∠BOB₁，
∴△DPE∽△BOB₁，
∴=，
即=，
解得DE=，
∵四邊形ADPG為等腰梯形，
∴PG=AD-2DE，
即-m²+m=-2×，
整理得，3m²-14m+16=0，
解得m₁=，m₂=2（P、D重合，不符合題意，舍去），
m=×=，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），
故，存在點(diǎn)P（，），使得四邊形ADPG為等腰梯形．
分析：（1）把點(diǎn)A₁、B₁的橫坐標(biāo)代入直線求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形的面積表示出S₁、S₂，再根據(jù)S₂＞S₁列出關(guān)于a、b的不等式，整理后求解即可；
（2）根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，然后判斷出點(diǎn)A是二次函數(shù)的頂點(diǎn)，再根據(jù)AD、PG平行于y軸可得AD、PG是底邊，AG、DP是等腰梯形的腰，再根據(jù)b的值求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后求出直線OB的解析式，根據(jù)拋物線的解析式與OB的解析式求出AD的長，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，表示出PG的長度，過點(diǎn)P作PE⊥AD于E，表示出PE，PE∥x軸，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠EPD=∠BOB₁，判斷出△DPE和△BOB₁相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出DE，再根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，PG=AD-2DE，然后列出方程求出m的值，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，三角形的面積，等腰梯形的性質(zhì)，（2）難度較大，根據(jù)二次函數(shù)解析式與直線解析式表示出AD、PG的長，再根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)列出方程是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)，作出圖形更形象直觀．