Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線段BA-AD-DC以每秒5個(gè)單位長的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CB方向以每秒3個(gè)單位長的速度勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q向上作射線QK⊥BC，交折線段CD-DA-AB于點(diǎn)E，點(diǎn)P、Q同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）。
（1）當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，求t的值，并指出此時(shí)BQ的長；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AD上時(shí)，t為何值能使PQ∥DC ？
（3）設(shè)射線QK掃過梯形ABCD的面積為S，分別求出點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到CD、DA上時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫出t的取值范圍）
（4）△PQE能否成為直角三角形？若能，寫出t的取值范圍；若不能，請說明理由。

Answer 1

解：（1）t =（50+75+50）÷5=35（秒）時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)C， 此時(shí)，QC=35×3=105， ∴BQ的長為135-105=30； （2）如圖1，若PQ∥DC，又AD∥BC，則四邊形PQCD 為平行四邊形，從而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t 得50+75-5t=3t，解得t=， 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)t=時(shí)，有PQ∥DC； （3）①當(dāng)點(diǎn)E在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2， 分別過點(diǎn)A、D 作AF⊥BC于點(diǎn)F，DH⊥BC于點(diǎn)H，則四邊形 ADHF為矩形，且△ABF≌△DCH，從而 FH= AD=75，于是BF=CH=30， ∴DH=AF=40， 又QC=3t，從而QE=QC·tanC=3t·=4t。（注：用相似三角形求解亦可） ∴S=S⊿QCE=QE·QC=6t2；  ②當(dāng)點(diǎn)E在DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖1， 過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，從而ED=QH=QC-CH=3t-30， ∴S= S梯形QCDE=（ED+QC）DH =120 t-600； （4）△PQE能成為直角三角形， 當(dāng)△PQE為直角三角形時(shí)，t的取值范圍是0＜t≤25且t≠或t=35， ①當(dāng)點(diǎn)P在BA（包括點(diǎn)A）上，即0＜t≤10時(shí)，如圖2， 過點(diǎn)P作PG⊥BC于點(diǎn)G ，則PG=PB·sinB=4t，又有QE=4t = PG，易得四邊形PGQE為矩形，此時(shí)△PQE總能成為直角三角形， ②當(dāng)點(diǎn)P、E都在AD（不包括點(diǎn)A但包括點(diǎn)D）上，即10＜t≤25時(shí)，如圖1， 由QK⊥BC和AD∥BC可知，此時(shí)，△PQE為直角三角形，但點(diǎn)P、E不能重合， 即5t-50+3t-30≠75，解得t≠，  ③當(dāng)點(diǎn)P在DC上（不包括點(diǎn)D但包括點(diǎn)C），即25＜t≤35時(shí)，如圖3， 由ED＞25×3-30=45，可知，點(diǎn)P在以QE=40為直徑的圓的外部，故∠EPQ不會(huì)是直角， 由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是銳角，對于∠PQE，∠PQE≤∠CQE，只有當(dāng)點(diǎn)P與C 重合，即t=35時(shí)，如圖4，∠PQE=90°，△PQE 為直角三角形， 綜上所述，當(dāng)△PQE為直角三角形時(shí)，t的取值范圍是0＜t≤25且t≠或t=35。

圖1 圖2 圖3 圖4