Question

如圖，已知拋物線y=a(x-1)2-

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與x軸交于A，B兩點（A在左邊），拋物線經(jīng)過點D（5，-3），頂點為M．
（1）寫出M點的坐標(biāo)，并指出函數(shù)y有最大值還是最小值？這個值是多少？
（2）求a的值；
（3）以AB為直徑畫⊙P，試判定點D與⊙P的位置關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)頂點式求法直接的出二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)以及二次函數(shù)的最值；
（2）把D（5，-3）代入y=a(x-1)2-

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，直接求出a的值；
（3）首先求出二次函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo)，進而求出P點的坐標(biāo)，得出PE=4，DE=3，從而得出PD的長，判斷出D與⊙P的位置關(guān)系．

解答：解：（1）∵拋物線y=a(x-1)2-

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，
∴頂點為M（1，-

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），
函數(shù)y有最小值是-

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3

；

（2）把D（5，-3）代入y=a(x-1)2-

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3

得：a=

1

3

；

（3）結(jié)論：點D在⊙P上，
∵y=

1

3

(x-1)2-

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令y=0，得：x₁=-4，x₂=6，
∴A（-4，0），B（6，0），
∴AB=10，
∵AB為⊙P的直徑，
∴P（1，0），
∴⊙P的半徑r=5，
過點D作DE⊥x軸，垂足為點E，則E（5，0）
∴PE=5-1=4，DE=3，
∴PD=

PE2+DE2

=5，
∴PD與⊙P的半徑相等，
∴點D在⊙P上．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的最值以及頂點式和點與圓的位置關(guān)系等知識，判定點與圓的位置關(guān)系得出點與圓心距離等于半徑是解決問題的關(guān)鍵．