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已知△ABC，分別以AC和BC為直徑作半圓O1，O2，P是AB的中點.
（1）如圖1，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在上分別取點E、F，使∠AO1E=∠BO2F，則有結論①△PO1E≌△FO2P，②四邊形PO1CO2是菱形，請給出結論②的證明；
（2）如圖2，若（1）中△ABC是任意三角形，其他條件不變，則（1）中的兩個結論還成立嗎？若成立，請給出證明；
（3）如圖3，若PC是⊙O1的切線，求證：AB2=BC2+3AC2。
解：（1）∵P、O1、O2分別為AB、AC、BC的中點，
∴AP=BP，AO1=BO2，，，
∴四邊形PO1CO2是平行四邊形，
∵AC=BC，
∴PO1=PO2，
∴四邊形PO1CO2是菱形；
（2）結論①成立，結論②不成立，
結論①證明如下：
∵P、O1、O2分別為AB、AC、BC的中點，
∴AP=BP，AO1=BO2，，，
即PO1=BO2，AO1=PO2，
∴△APO1≌△BPO2（SSS）；
（3）直角三角形APC中，設AP=c，AC=a，PC=b，
∴；，
過點B作AC的垂線，交AC的延長線于D點，
∵PC⊥AD，BD⊥AD，
∴PC∥BD，
又∵AP=BP，
∴CD=a，BD=2b，BC2=2a2+4b2，
∴，
∴AB2=BC2+3AC2。
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

5、已知△ABC，分別以AB，AC為邊，向形外作等邊三角形ABD和ACE，連接BE，DC，其中，則△ADC≌△ABE的根據是（　�。�

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科目：初中數學 來源： 題型：

27、已知△ABC，分別以BC、AC為邊向形外作正方形BDEC，正方形ACFG，過C點的直線MN垂直于AB于N，交EF于M，
（1）當∠ACB=90°時，試證明：①EF=AB；②M為EF的中點；

（2）當∠ACB為銳角或鈍角時，①EF與AB的數量關系為
當∠ACB為銳角時，EF＞AB，當∠ACB為鈍角時，EF＜AB
（分情況說明）；
②M還是EF的中點嗎？請說明理由．（選擇當∠ACB為銳角或鈍角時的一種情況來說明）

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科目：初中數學 來源： 題型：

23、已知△ABC，分別以AB、BC、CA為邊向形外作等邊三角形ABD、等邊三角形BCE、等邊三角形ACF．
（1）如圖，當△ABC是等邊三角形時，請你寫出滿足圖中條件，四個成立的結論；
（2）如圖，當△ABC中只有∠ACB=60°時，請你證明S△ABC與S△ABD的和等于S△BCE與S△ACF的和．

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科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

（2012•博野縣模擬）閱讀下面材料：
小明遇到這樣一個問題：如圖1，△ABO和△CDO均為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．若△BOC的面積為1，試求以AD、BC、OC+OD的長度為三邊長的三角形的面積．

小明是這樣思考的：要解決這個問題，首先應想辦法移動這些分散的線段，構造一個三角形，再計算其面積即可．他利用圖形變換解決了這個問題，其解題思路是延長CO到E，使得OE=CO，連接BE，可證△OBE≌△OAD，從而得到的△BCE即是以AD、BC、OC+OD的長度為三邊長的三角形（如圖2）．
請你回答：圖2中△BCE的面積等于
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．
請你嘗試用平移、旋轉、翻折的方法，解決下列問題：
如圖3，已知△ABC，分別以AB、AC、BC為邊向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI，連接EG、FH、ID．
（1）在圖3中利用圖形變換畫出并指明以EG、FH、ID的長度為三邊長的一個三角形（保留畫圖痕跡）；
（2）若△ABC的面積為1，則以EG、FH、ID的長度為三邊長的三角形的面積等于
3
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．

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科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

（2013•南開區(qū)一模）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，△ABO和△CBO均為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，若△BOC的面積為1，試求以AD、BC、OC+OD的長度為三邊長的三角形的面積．小明是這樣思考的：要解決這個問題，首先應想辦法移動這些分散的線段，構成一個三角形，在計算其面積即可．他利用圖形變換解決了這個問題，其解題思路是延長CO到E，使得OE=CO，連接BE，可證△OBE≌△OAD，從而等到的△BCE即時以AD、BC、OC+OD的長度為三邊長的三角形（如圖2）．
（I）請你回答：圖2中△BCE的面積等于
2
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．
（II）請你嘗試用平移、旋轉、翻折的方法，解決下列問題：如圖3，已知ABC，分別以AB、AC、BC為邊向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI，連接EG、FH、ID．若△ABC的面積為1，則以EG、FH、ID的長度為三邊長的三角形的面積等于
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．

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