Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于A，B兩點(diǎn)，經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的拋物線與x軸的正半軸相交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若P為線段AB上一點(diǎn)，，求AP的長；

（3）在（2）的條件下，設(shè)M是y軸上一點(diǎn)，試問：拋物線上是否存在點(diǎn)N，使得以A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，3) 或(，)

【解析】

（1）利用直線與y軸的交點(diǎn)求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入，即可求解；

（2）先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，證得△PAO△CAB，利用對應(yīng)邊成比例即可求解；

（3）分點(diǎn)N在AB的上方或下方兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，利用三角形全等，即可求解．

（1）令，則，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，3)，

拋物線經(jīng)過點(diǎn)B (0，3)，C (1，0)，

∴，解得，

∴拋物線的解析式為：；

（2）令，則，

解得：，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，0)，

∴OA=3，OB=3，OC=1，

，

∵，且，

∴△PAO△CAB，

∴，即，

∴；

（3）存在，

過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，

∵OA=3，OB=3，∠AOB=，

∴∠BAO=∠ABO=，

∴△PAD為等腰直角三角形，

∵，

∴PD=AD=2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，2)，

當(dāng)N在AB的上方時(shí)，過點(diǎn)N作NE⊥y軸于點(diǎn)E，如圖，

∵四邊形APMN為平行四邊形，

∴NM∥AP，NM=AP=，

∴∠NME=∠ABO=，

∴△NME為等腰直角三角形，

∴Rt△NMERt△APD，

∴NE=AD=2，

當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，3)，

當(dāng)N在AB的下方時(shí)，過點(diǎn)N作NF⊥y軸于點(diǎn)F，如圖，

同理可得：Rt△NMFRt△APD，

∴NF=AD=2，

當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，)，

綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，3) 或(，) ．