Question

如圖，△ABC和△ABD都是⊙O的內(nèi)接三角形，圓心O在邊AB上，邊AD分別與BC，OC交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，點(diǎn)C為的中點(diǎn)．

（1）求證：OF∥BD；

（2）若，且⊙O的半徑R=6cm．

     ①求證：點(diǎn)F為線段OC的中點(diǎn)；

     ②求圖中陰影部分（弓形）的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：

相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理；扇形面積的計(jì)算。

專題：

幾何綜合題。

分析：

（1）由垂徑定理可知OC⊥AD，由圓周角定理可知BD⊥AD，從而證明OF∥BD；

（2）①由OF∥BD可證△ECF∽△EBD，利用相似比證明BD=2CF，再證OF為△ABD的中位線，得出BD=2OF，即CF=OF，證明點(diǎn)F為線段OC的中點(diǎn)；

②根據(jù)S_陰=S_扇形AOC﹣S_△AOC，求面積．

解答：

（1）證明：∵OC為半徑，點(diǎn)C為AD的中點(diǎn)，∴OC⊥AD，

∵AB為直徑，∴∠BDA=90°，BD⊥AD，

∴OF∥BD；

（2）證明：①∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，

∴OF=BD，

∵FC∥BD，∴∠FCE=∠DBE，

∵∠FEC=∠DEB，∴△ECF∽△EBD，

∴，∴FC=BD，

∴FC=FO，即點(diǎn)F為線段OC的中點(diǎn)，

②解：∵FC=FO，OC⊥AD，∴AC=AO，

又∵AO=CO，∴△AOC為等邊三角形，

∴S_陰==6π﹣9（cm²），

答：圖中陰影部分（弓形）的面積為（6π﹣9）cm²．

點(diǎn)評：

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，扇形面積的計(jì)算．關(guān)鍵是熟練掌握各知識點(diǎn)的聯(lián)系及互相轉(zhuǎn)化．