Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，tanB=，∠ACB=45°，AD=2，求DC的長．

Answer 1

解：過點A作AE⊥BC于E，AF∥DC，交BC于F，
∴在Rt△AEB中，∠AEB=90°，tanB=，
∵tanB=，
∴=，
設AE=4x，則BE=3x，
∵AE²+BE²=AB²，
∴（4x）²+（3x）²=5²，
∴x=1，
∴AE=4，BE=3，
在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∠ACE=45°，
∴∠CAE=45°，
∴AE=EC=4，
∵AF∥DC，AD∥BC，
∴四邊形ADCF為平行四邊形，
∴AF=CD，CF=AD，
∵AD=2，
∴CF=2，
∴EF=CE-CF=4-2=2，
在Rt△AEF中，∠AEF=90°，由勾股定理得：AF=，
∴DC=．
分析：首先作輔助線：過點A作AE⊥BC于E，AF∥DC，交BC于F，然后在Rt△AEB中，由三角函數可得AE與BE的關系，由勾股定理即可求得AE與BE的值；又由四邊形ADCF是平行四邊形，易得CF與EF的長，在Rt△AEF中，由勾股定理求得AF的長，則求得DC的長．
點評：此題考查了梯形的性質、平行四邊形的判定與性質以及勾股定理、三角函數的性質等．此題綜合性比較強，解題時需要仔細分析，充分識圖．